Notas lógicas sobre la biblioteca de Babel Guillermo Pujadas

Trabajo de posgrado (Facultad de Psicología, Universidad de Buenos Aires) para el curso
"Borges: Ficciones e inconsistencias" a cargo de la Profesora Gloria Autino en el año 97

Problemas:

• Dos números sumados dan por resultado diez y cuarenta es su producto.
• Establecer la relación que existe entre la serie de los números enteros y la de los números pares, hallar una relación del mismo tipo pero para relacionar los puntos de un segmento de recta con la primera serie
• Demostrar por qué tan sólo cuatro colores hacen falta para colorear un mapa de una superficie plana, sin que ellos se confundan, y siete para lograr el mismo efecto sobre la superficie de un toro.
• Construir una ecuación que fabrique una serie infinita de números primos (si hay una serie puede haber otra, ergo infinito no es todo).
• Demostrar que resulta imposible la existencia de las series pitagóricas de números enteros tal como las hallara Diofanto hace ya mas de 1500 años pero para potencias mayores que dos, esto es: xⁿ +yⁿ = zⁿ, en donde x, y, z son enteros cualesquiera y n su serie ordenada.

Todos son problemas de planteo escolar y solución fantástica, o aún inexistente. El último de ellos se conoce como el último teorema de Fermat, y ediciones anteriores al año 1994 lo presentan sin solución aparente.

Salvo que quisiera mentirle a sus colegas o amigos (al menos para seducirlos, después de todo entre los primeros se podía contar a Pascal o a Huygens), no existía ningún motivo para encontrar engañosa tamaña sentencia encontrada en la edición de Bachet de la Aritmética de Diofanto, propiedad de Fermat. Santiago López de Medrano, profesor de la Universidad Autónoma de México en un ensayo del cual extraje los datos sobre este tema, nos cuenta lo que sigue:

"En el margen, junto al problema VIII del Libro II, donde Diofanto planteaba "Propositum quadratur partiri in duos quadratos", se leía también en latín, lo que años después sería traducido a infinidad de lenguas:

Por el contrario, es imposible partir un cubo en la suma de dos cubos, una cuarta potencia en la suma de dos cuartas potencias o, en general, partir un número elevado a una potencia mayor que dos en una suma de potencias del mismo grado. He descubierto una demostración maravillosa de este hecho, la cual no es posible hacer caber en este estrecho margen.

Una sonrisa enigmática se esbozó en los labios de Pierre de Fermat al leer su anotación marginal..."¹

Generaciones enteras de matemáticos quedaron atrapadas en ese estrecho margen. Promediaba el siglo XVII, y tal vez se haya cubierto una posible impostura con un título que reivindicara su nombre tanto mas por otros aciertos, por demás geniales, que por esta guapeada.

Nada se supo de esta demostración hasta que un tal Wiles trabajando ocho años, asesorado por colaboradores y por computadoras, diseñando estudios sobre teorías de curvas elípticas semiestables, funciones modulares (y otras cuestiones a las que nuestra ignorancia le guarda el mayor de los respetos), logró demostrar dicha imposibilidad. Comenzaba el año 1994. Diofanto, Fermat, Wiles, y más de 1500 años. Seis días necesitó B. Russell para señalarle en una carta a su maestro Frege lo que significaría la caída de su Aritmética con sus 25 años de esfuerzo por completarla.

Fermat fue también uno de los tantos matemáticos que, causado vaya a saber por qué cosa (el entusiasmo de los matemáticos encuentra una muy corta justificación en el progreso de la ciencia), se dedicó a hallar la fórmula de los números primos y la que inventó funcionó al menos por cien años hasta que un colega de la talla de Euler descubrió un pequeño error: la supuesta serie infinita fallaba al quinto intento!

Resulta poco creíble que en el problema de los mapas coloreados se haya podido demostrar formalmente que cinco colores alcancen (se ha utilizado para ello un teorema de Euler y otros artilugios) cuando desde la intuición se puede dibujar uno que lo explique con cuatro. Cuatro colores es la respuesta correcta desde la experiencia no así desde lo formal. Valga la reivindicación de los dibujos que Pierre Soury realiza en una nota bibliográfica al final de su libro²: "Al principio había dibujos, luego casi ya no hay, porque en las matemáticas actuales hay una tendencia declarada a no tomar los dibujos en serio". De todas maneras la topología combinatoria es una de las disciplinas que más se ha esforzado en ponerle un límite a la intuición.

Si bien fue Galileo el primero que hizo notar, vía el absurdo, que la serie de los números naturales es tan infinita como la serie de los números pares (que es algo así como un oxímoron en el que la parte es igual al todo), fue Cantor quien pudo demostrarlo. Inventó para ello el método diagonal, tan genial y sencillo como su nombre. Invento que le permitió hallar tres conjuntos infinitos distintos a los que puso por nombre una letra que "recuerda" a Borges: Aleph.

Siguiendo nuestro recorrido de cada problema podremos ver que el primero se puede resolver aplicando sencillas reglas matemáticas. Aún así veremos que no tiene solución. Fue un tal Cardan, matemático italiano del siglo VI cuyo nombre está en boca de mecánicos de barrio, y no es inexacta su referencia, quien se animó a dar una posible solución, tuvo que recurrir, casi pidiendo perdón a la tradición, a la introducción de un elemento imposible, la raíz cuadrada de un número negativo. En su excusa deja sentado el nombre de un número que hoy se encuentra en la base de todo análisis matemático, lo llamó imaginario, adjetivo falaz, nada más simbólico que dicho invento que termina condensado en una pequeña letra "i" minúscula. No estaría de mas repetir el pequeño artificio³ que inventó Cardan que, exceptuando un sólo gesto, bien podría ser matemáticas de segundo año. Gesto que lleva la impronta de un acto: se escribe por vez primera una letra inexistente con un contenido de significación absolutamente desechable hasta el momento. Sólo quería destacarlo como lo que la matemática es capaz de realizar, siendo un universo aparentemente cerrado, una vasta tautología, logra escribir un imposible. Formaliza en una sola letra una operación imposible, si nos trazamos la gráfica de la suma y la multiplicación en un par de ejes cartesianos observaremos que se trata de una recta de pendiente negativa y una hipérbole que no se tocan en ningún punto del plano de los números reales. (si se prefiere la escritura matemática todo esto se resume a dos ecuaciones con dos incógnitas, x + y = 10; x . y = 40 )⁴

Ficciones:

En el texto de apertura del Centro de Estudios y Documentación "Jorge Luis Borges" de la Universidad de Aarhaus se puede leer:

El "estilo" de lectura de las cosas que caracteriza a Borges puede ser asimilado a una práctica de "epistemologías transversales". La transversalidad no es un caso más de "interdisciplinaridad", porque se trata menos de una confluencia de metodologías que de un desplazamiento epistemológico desde un campo de pertinencia hacia otro (algo así como una "hipálage científica"...). Ese es el punto de partida de la aventura del Centro.⁵

Se puede objetar el uso (universitario) del término "epistemologías", que bien podría ser reemplazado por el vocablo saber (o su plural, si la elegancia del estilo de la cita lo permitiera). Sin embargo alcanza con destacar el acierto en la elección de "transversales", porque logra una buena descripción de los movimientos que se producen en cada texto de nuestro Autor.

Si se piensa que la erudición y la inteligencia de Borges podrían ignorar los problemas planteados al comienzo, se pierde de vista que la estructura lógica formal de los elementos propios del universo matemático, que por momentos deja huellas en el contenido mismo de su obra, forma parte de la estética del prisma: un entramado en distintos niveles, pero que resulta imposible mantenerlos estancos. Son estas "hipálages científicas" las que nos hacen tropezar, en un cuento fantástico, con un tratado filosófico del infinito, una teoría de la Cábala o una dilucidación ontológica del número para la demostración o refutación de la existencia de Dios⁶.

Deberíamos conformarnos en este trabajo con poder leer en qué consisten dichas transversalidades o los momentos en que se producen. Si para Borges el psicoanálisis nos es mas que una rama de la literatura fantástica veremos cómo las matemáticas tampoco caen fuera de esta categoría. Lo que sucede es que mientras las matemáticas intentan escribir "letritas" que capturen un real en estos bordes, Borges cubre ese real desplegando, en ese mismo espacio (siempre infinito) sus relatos fantásticos sin faltar a una coherencia, la de su propio estilo.

 

Inconsistencias:

En la Biblioteca de Babel Borges insiste en sus adjetivaciones y descripciones con la preposición "in" y con la conjunción copulativa, elementos decisivos para presentar en el acto mismo de la escritura un Universo "que otros llaman Biblioteca". Inmediatamente nos muestra sus cartas:

"El Universo se compone de un número indefinido y tal vez infinito de galerías hexagonales"

El juego incesante de la conjunción es el que va dando la dimensión a la Biblioteca. En cada descripción del lugar, "Desde cualquier hexágono se ven los pisos inferiores y superiores: interminablemente.", "a derecha y a izquierda del zaguán", "la escalera de espiral, que se abisma y se eleva hacia lo remoto"; o cuando detiene su mirada sobre los libros de "naturaleza informe y caótica"; o cuando "los hombres se sintieron dueños de un tesoro intacto y secreto". No existe ninguna disyunción, deliberadamente⁷. Ninguna proposición descriptiva consiste en: "esto o lo otro". Pero existe un recurso en apariencia contradictorio. En la conjunción, que en el caso de la lógica implica la validez de ambas premisas y en el caso de la lógica conjuntista se ve representada por la unión de dos conjuntos, Borges introduce sistemáticamente elementos cuyos atributos lejos de quedar limitados quedan abiertos por el uso de la partícula privativa "in", se puede también hacer el inventario, obtendremos el bosquejo de la formulación de una inconsistencia lógica.

Basta con una mirada a todo lo que sigue para confirmar su insistencia y su repetición, tanto en el sentido freudiano como en el que destaca Russell cuando desarticula los argumentos de Poincaré con los que quería mostrar las propiedades inductivas de las matemáticas: "Lo que se afirma" dice Russell " no es (digamos) que si una vez podemos añadir 1 a 2, entonces podemos hacerlo otra vez; lo que se afirma es que si una vez podemos añadir 1 a dos y obtener 3, podemos añadir 1 a 3 y obtener 4, y así ad infinitum."⁸

Pero estas partículas que insisten y se distribuyen a lo largo de todo el relato anticipan y a la vez confirman lo que pronto aparece en el contenido mismo; decir que el texto es una presentación de una paradoja resulta exagerado, pero el movimiento paradójico que introduce se encuentra en el mismo nivel en el cual Lacan introduce el Otro del lenguaje. La Biblioteca es para Borges un ejercicio dialéctico que no apresura ninguna síntesis. Sin embargo Borges no es lacaniano, es platónico, como en tantos otros lugares, pero aquí toma el mismo espíritu del Platón que admirando a Zenón escribe el Parménides. No hay una síntesis en el texto de Platón que permita, por fin, superar si el Uno es uno, qué se sigue de los otros y si el Uno no es uno, qué se sigue de ello; si el Uno participa del Ser, se contará el mismo y su ser, el Uno es múltiple y no uno; o si no participa del ser pues ya nada es⁹. Así como no aparece este cierre tampoco en la Biblioteca se responde si es Total o Infinita.

Si es total sus elementos, de alguna manera, se podrán contar, por lo tanto no será infinita. Por el contrario si resulta infinita existirá siempre un elemento mas, hace falta siempre un elemento más; o lo que resulta lo mismo, siempre faltará algún elemento. Y es de este orden la falta que introduce Lacan cuando dice que no hay Otro del Otro, que no hay metalenguaje.¹⁰ Lo que introduce es el sujeto hablante, para ser mas específico, lo que sigue es una consecuencia lógica del modo en que ese sujeto es representado por un significante para otro significante. Si Lacan pretende superar las impasses de ciertas paradojas, Borges se contenta con plantearlas sin tener la menor intención de solucionarlas.

Corolario de lo dicho es el momento en que el desconocido que presta la voz al relato describe el hallazgo, por parte de un genio pensador, de un texto en "un dialecto samoyedo lituano del guaraní con inflexiones del árabe clásico (humor borgesiano) en el que se descifra la ley fundamental de la biblioteca. Y no es casual que nuestro autor lo remita a un tratado de topología combinatoria. Es esta disciplina en íntima relación con la teoría de conjuntos la que permitió definir elementos imposibles hasta su irrupción, como ser la relación, (y con ella todas las operaciones), los conceptos de arriba-abajo, derecha-izquierda, entre otros, de los que la matemática se servía pero se la ponía en aprietos al pedirle precisiones a cerca de ellos. Este manejo lógico propio de esta disciplina llevó a Lacan a decir de ella que "afina al extremo los datos de lo imaginario, juega en una suerte de transespacio del que a fin de cuentas todo da a pensar que esta hecho de la peor articulación significante, al tiempo que deja aún a nuestro alcance algunos elementos intuitivos". ¹¹

En este momento, si volvemos al texto, se produce una reduplicación que muestra en forma todo el movimiento del relato: "variaciones con repetición ilimitada". Se lee en ello la propia definición del lenguaje, oposición y diferencia.

Y en este sentido avanza la ley que, para ser fundamental, necesita de lo universal como un todo. Esto es válido en el sentido legal, la Ley es siempre positiva, contempla todo lo que está escrito, lo que queda por fuera, en tiempo y forma, no existe, queda forcluído (es este sentido original del término que introdujo Lacan) y desde ya que no por eso desaparece. No debería llamarnos la atención el hecho de que una vez establecida la ley algo del orden del deseo comienza a manifestarse: la esperanza, la codicia, la felicidad, el asesinato…

Por otra parte los axiomas que conforman de esta Ley Fundamental concuerdan con los de la teología que partiendo de una premisa no falsable, la suposición de la existencia de Dios¹², elaboran una serie de argumentaciones lógicamente inobjetables. No por casualidad Borges repasa Inquisidores, gnósticos y vindicaciones que señalen el momento de "nuestra" propia muerte.

Sospechamos, sin embargo, de una inexactitud en la teoría de nuestro bibliotecario de genio: "las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos"… son infinitas, si se sostiene la condición del "mas un libro". Resulta excesivo aplicar el método diagonal inventado por Cantor, pero justamente allí está la respuesta. Lo cierto es que la operación del bibliotecario extrae el elemento que hace a lo universal necesario. Lo que era infinito se cierra dando paso a un Todo.

El relato falla y genera una ficción en el seno mismo de la ficción: "Todo está escrito, todo lo que es dable expresar"

No es un detalle que el partícipe de este error se encuentre en un tercer nivel de la enunciación: la voz del genio es un relato de un relato del relato de Borges, y es él mismo quien saca provecho de esta distancia.

Cantor demostró que 2ⁿ no es numerable, y esto puede cumplir la misma función para nosotros que la que cumplía el tratado de lógica combinatoria hallado en la biblioteca; porque, después de todo, si bien no esta justificado en el relato, debemos suponer que la coherencia del mismo hacía irrefutable su argumento de verdad (corriendo el riesgo de confundir saber y verdad). El problema es que si 2ⁿ no es numerable, las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos tampoco lo es por lo tanto ya no resulta un número vastísimo sino infinito ("número infinito" es escribir una paradoja). Si esto no se entiende se puede pensar en el lenguaje de las computadoras que se sirven de 2 elementos (0 y 1), es decir en el lenguaje binario inventado por Leibniz ¹³. Con estos dos elementos podríamos empezar a tipear los textos de la biblioteca sin temor a que en algún momento no existan mas combinaciones.

En definitiva el cuento de Borges se sirve de toda una parafernalia lógica para abordar lo que para los psicoanalistas puede resultar el lenguaje mismo, su producto es literario y no científico (el psicoanálisis no es científico pero tampoco es literario). Nos muestra sin discontinuidades, aparentes contradicciones, que para nada deben serle adjudicadas a él sino más bien a su objeto: la Biblioteca; y en eso va la genialidad de su letra.

Hemos hecho una visita a la biblioteca haciendo un recorte que nos llevó de las matemáticas a la lógica, hemos introducido algunas lecturas propias del psicoanálisis. Pero el psicoanálisis es otra cosa. La biblioteca se presta a un goce que es el de la lectura y el psicoanálisis es una práctica que se presta a leer lo que queda de eso que se goza, lo que se condensa de lo dicho; introduce por lo tanto un sujeto escindido por el hecho mismo de hablar, lo que supone la noción de Inconsciente estructurado como un lenguaje. Así la Biblioteca se lee tal como un enunciado y el lenguaje se habla (y no esta mal sostener cierta ambivalencia; "el habla habla" dice Heidegger ¹⁴) pero se puede leer en lo que se escucha, y sus efectos, si bien marcan la diferencia entre enunciado y enunciación van mucho mas allá, en términos de saber, que lo que el ser que habla es capaz de enunciar. Pero por esta vía pronto caeríamos en lo que quise evitar, hacer un psicoanálisis aplicado de la lectura de un cuento que tiene la habilidad de presentarnos una realidad en su estructura de ficción.

Para terminar supongamos que a nuestro bibliotecario, en medio del tedio de las lecturas de esas caprichosas combinaciones significantes, se le presentara ante sus ojos el siguiente texto:

Hablar es incurrir en tautologías. La certidumbre de que todo esta escrito nos anula o nos afantasma. Yo conozco distritos en que los jóvenes se prosternan ante los libros y besan con barbarie las páginas pero no saben descifrar una sola letra.

Digamos, para proseguir con la metáfora de Damourette y Pichon sobre el yo gramatical, aplicándola a un sujeto al que está mejor destinada, que la fantasía es propiamente "paño" de ese Yo. El sujeto es casi gramatical y así lo anuncio para aviso de aquellos que han censurado (con intención de amistad) mis gramatiquerías y que solicitan de mí una obra más humana¹⁵.

¿Quién le avisaría de que lo leído son retazos de otros textos ya escritos por Borges en 1927 y 1941 y por Lacan en 1960? ¿Quién operaría como garante? ¿Qué libro habría de indicarle que resulta inconcebible esta conjunción abominable de los dos?

 

NOTAS:

1. Ensayo del profesor Santiago López de Medrano, "Diofanto, Fermat, Wiles..." Revista Archipiélago Año I, Nro. 2, Julio de 1995.
2. Pierre Soury, Cadenas, nudos y superficies en la obra de Lacan, notas bibliográficas, pag 175, Ediciones Xavier Bóveda.
3. Con un pequeño pasaje de términos se despejan las raíces del cuadrado de un polinomio y se obtiene: x = (5 + -15), y = (5 - -15), si hacemos la prueba, (5 + -15) + (5 - -15) = 10 y (5 + -15) . (5 - -15) = 25 + 5 . -15 – 5 . –15 + 15 = 25 + 15 = 40
4. Cada uno de estos problemas (existen infinidad de ellos) se pueden leer en cualquier libro de divulgación yo los encontré en los siguientes textos:

• Diofanto, Fermat, Wiles, Santiago López de Medrano, ensayo escrito para la revista Archipiélago, Año I, Nro 2, julio de 1995.
• Introducción a la topología combinatoria, Fréchet y Ky Fan, Eudeba, 1961.
• 1,2,3 infinito, G. Gamow, Espasa Calpe, 1969
• Ensayos Filosóficos, B. Russell, Ed. Altaya.

5- Revista Variaciones Borges Numero I, o también en Internet: http://www.hum.aau.dk/institut/rom/borges/spanish.htm

6. Para lo dicho sólo hace falta leer: La Biblioteca de Babel, (o su recíproca Lotería de Babilonia), Acerca de la Cábala, Argumentum ornitológicum, y porque no Aquiles y la tortuga entre tantos otros)
7. Convengamos que existe una conjunción disyuntiva, una sola, se cita en este mismo escrito, pero se refiere a un nosotros (que nos incluye) y no precisamente a la Biblioteca.
8. B. Russell, ensayos filosóficos, La ciencia y La hipótesis, p. 99, Ed. Altaya.
9. Parménides, Platon, leído de la traducción de Guillermo Echandía, Editorial Alianza.
10. Que el elemento faltante se cuente como un -1, no puede dar pie a que Lacan cometa el exabrupto de abusar de las matemáticas para despejar la raíz cuadrada de -1, tal cual lo hace en "subversión del Sujeto",creo que no hace falta, puesto que nunca los utilizó de esta manera, el mismo Milner en su libro "La obra clara" sostiene que no hay posibilidad de hacer un pasaje de terminos en los matemas de Lacan.
11. Seminario Nro. 10, parte final de la clase del 28 de noviembre de 1962
12. Los neoplatónicos creyeron hallar en las últimas hipótesis del Parménides la base de una teología, si el Uno no es implica que esta mas allá del ser, un "mas allá" que pronto adquirió características místicas.
13. En "La Biblioteca Total" Borges insiste con los 24 signos, el sistema binario lo reserva para los numeros. Sin embargo, ya que solo se trata de economía, no hace falta tal reserva, todo universo simbólico puede reducirse a la oposición de dos elementos.
14. M. Heidegger, De camino al habla, Cap I, El Habla, p.15, Ed del Serbal – Guitard.
15. JLB, Indagación de la palabra. El idioma de los argentinos, Seix Barral p. 11
16. JLB La biblioteca, Ficciones, Emecé, p.124, 125
17. J Lacan, Subversión del Sujeto, Escritos 2, Siglo XXI, 796

 

BIBLIOGRAFÍA:

- J.L. Borges, La biblioteca de Babel, Ficciones, Emecé.

• Se puede contrastar ciertos dichos, autorreferenciar los mismos temas, prefigurar la biblioteca, repasando estos textos: "La biblioteca Total", "De las alegorías de las novelas", "Nota sobre (hacia ) Bernard Shaw" (en Otras Inquisiciones).

B. Russell, Ensayos Filosóficos.

Platon, Parménides , traducción de Guillermo Echandía, Editorial Alianza.

J Lacan, Subversión del Sujeto, Escritos 2, Siglo XXI.

J Lacan, Seminario Nro. 10.

M. Heidegger, De camino al habla.

Revista de Psicoanálisis y Cultura Número 8 - Diciembre 1998 www.acheronta.org