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INDICE
1. CONCEPTOS RELEVANTES DE LA LÓGICA PARA EL ANÁLISIS DE LAS PARADOJAS
1. 1 Definición de términos lógicos
1.2. Conceptos fundamentales de lógica clásica.
1.3. El empirismo lógico o positivismo lógico; concepto de verificación.
1.4. Algunos ejemplos ilustrativos de las paradojas lógicas.
2. ALEXANDRE KOYRE; "CONJUNTO Y CATEGORIA"
2.1. Presentación de las paradojas.
2.1.1. Paradoja de Epiménides.
2.1.2. "Yo miento"
2.1.3. La paradoja de Richard.
2.1.4. La paradoja de Russell
2.2 Conclusiones de Koyré
3. Conclusiones preliminares
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo ha nacido de la preocupación por echar luz sobre referencias de uso frecuente en el ámbito del psicoanálisis lacaniano que en general no se desarrollan suficientemente, con lo cual el uso de las mismas se torna oscuro y se limita su alcance.
El recorrido efectuado guarda relación con el seminario dictado por J.A. Miller en el año 1981 en Buenos Aires "La lógica del significante", y se orienta en el sentido de profundizar en ciertas referencias allí expuestas y realizar algunos agregados que consideramos de importancia central.
Cabe señalar que nuestra investigación se enmarca en un estudio más amplio que aspira a la elucidación de la relación entre el sujeto y la verdad en psicoanálisis, noción esta última íntimamente ligada a la de no-todo que tomamos como eje del presente artículo.
En este sentido, las paradojas lógicas que pueden pasar por "simples divertimentos", tienen la particularidad de apuntar a una cuestión de fondo en relación a la posición de la lógica formal. Es esta lógica, que podemos denominar "sin resto", inherente al positivismo, la que Lacan cuestionará en su elaboración de la noción del sujeto como efecto del significante.
Los textos que constituirán nuestra referencia fundamental serán , en primer lugar el artículo de Alexandre Koyré publicado en 1947 consagrado a las nociones de conjunto y categoría (1). En dicho artículo Koyré efectúa un recorrido que va desde la paradoja de Epiménides hasta la mentada paradoja de Russell conocida como "el conjunto de todos los conjuntos". En segundo lugar, el libro de Ernest Nagel y James Newman "El teorema de Gödel"(2), el cual es de suma importancia por el hecho de ser un texto de divulgación científica que permite a un lector con escasa base matemática comprender el desarrollo del Teorema de Gödel y su prueba, así como también la construcción de la enigmática fórmula autorreferente y no paradójica que dice de sí misma "yo soy indemostrable". Este punto será tomado en un próximo trabajo continuación del presente artículo.
El Teorema de Gödel se recorta a modo de cierre de este recorrido en virtud de situarse como el descubrimiento que puso límite al "imperialismo de la razón lógica" ( Nagel y Newman –1994) representado por el logicismo de Russell.
Nuestro objetivo en este primer artículo será, entonces detenernos en esos atolladeros de la lógica simbólica denominados paradojas, no para intentar eliminarlas, lo que ha marcado indefectiblemente el camino de los lógicos, sino para situarlas en el marco que les es propio y que es el de la lógica significante.
Citamos en este punto a Lacan:
"Nosotros hacemos una lógica del funcionamiento significante, puesto que sin esta referencia constituida como primaria, fundamental de la relación del sujeto al significante, lo que yo enuncio es , hablando propiamente, impensable"(3)
1. CONCEPTOS RELEVANTES DE LA LÓGICA PARA EL ANÁLISIS DE LAS PARADOJAS
1. 1 Definición de términos lógicos
Definiremos en esta sección un conjunto de términos que se toman usualmente como sinónimos. Estas definiciones han sido tomadas del Diccionario de Filosofía de Ferrater Mora y el Diccionario de la Lengua Francesa Petit Robert
SOFISMA:
- Razón o argumento aparente con que se quiere defender o persuadir de lo que es falso
- Argumento razonamiento falso, a pesar de una apariencia de verdad generalmente hecho con mala intención.
- Lógica : razonamiento conforme a las reglas de la lógica pero que lleva a una conclusión maniefiestamente falsa
CONTRASENTIDO :
- 1/Interpretación contraria a la significación verdadera. Ej: Hacer un contrasentido y sentidos falsos en una traducción
- 2/Mala interpretación en teatro , error. Ej: Su personaje de Hamlet es un contrasentido
- 3/Sentido inverso. Tomar el contrasetido en la trama de una tela
- 4/En un sentido contrario al sentido natural
- (Su contrario es exactitud)
APORÍA : Significa literalmente "sin camino" o "camino sin salida", de ahí dificultad. Proposición sin salida lógica. Podría también ser llamada antinomia o paradoja . Ferrater Mora distingue los tres términos. Antinomia : principalmente en el sentido kantiano como algo derivado de la aplicación de la razón pura a la realidad y especialmente a las proposiciones cosmológicas. Paradoja : dificultades lógicas y semánticas que surgen tan pronto como una proposición después de haberse afirmado a sí misma, se contradice a sí misma. Las paradojas equivalen en gran parte a los tradicionales INSOLUBILIA . El ejemplo típico de paradoja semántica es la paradoja del mentiroso. El ejemplo típico de aporía es la de Zenón de Elea contra el movimiento.
ANTINOMIA : en un sentido muy amplio, antiomia designa un conflicto entre dos ideas, proposiciones, actitudes, etc. Se habla de antinomia entre fe y razón, entre el amor y el deber, entre la moral y la política. En un sentido más estricto , antinomia designa un conflicto entre dos leyes.
PARADOJA: Usualmente : dificultades lógicas y semánticas que surgen tan pronto como una proposición después de haberse afirmado a sí misma , se contradice a sí misma. La paradoja maravilla porque propone algo que parece asombroso que pueda ser tal como se dice que es. En ocasiones se considera que las llamadas "antinomias" son una clase especial de paradojas: las resultantes de una contradicción entre dos proposiciones, cada una de las cuales parece racionalmente defendible. Se reserva el término antinomia para las antinomias en el sentido de Kant.
Como ejemplo de paradoja lógica trabajaremos la paradoja de Russell; como ejemplo de paradoja semántica tomaremos la paradoja del mentiroso, también conocida como la paradoja de Epiménides.
Cicerón escribe : "lo que los griegos llaman paradoja lo llamamos nosotros cosas que maravillan".
La paradoja maravilla porque propone algo que parece asombroso que pueda ser como se dice que es.
1.2. Conceptos fundamentales de lógica clásica.
Recordaremos brevemente algunos conceptos fundamentales de la lógica clásica.
Término : es la expresión del concepto (que es la representación intelectual de un objeto) no son verdaderos o falsos (por ejemplo : en "aquellos hombres son trabajadores" los términos son ‘aquellos hombres’ y ‘trabajadores’)
Proposición : es una relación enunciativa entre términos . Siempre dice o declara algo , es declarativa , afirmativa o negativa . Tiene un valor de verdad (Verdadera o falsa).
Suele usarse también ‘juicio’, pero en general se evita en lógica por sus implicancias psicológicas.
La estructura de la proposición es básicamente SUJETO - PREDICADO - CÓPULA
( Ejemplo : " El hombre es mortal" )
SUJETO es el término del que se dice algo ( ‘el hombre’)
PREDICADO es el término que se le atribuye al sujeto (‘mortal’)
CÓPULA es el elemento que establece la relación y enuncia (‘es’)
No todas las proposiciones tienen esta forma aunque para los lógicos clásicos deben transformarse a esta estructura previamente a su análisis. Existen controversias entre autores respecto a esto.
La proposiciones pueden clasificarse en SIMPLES O CATEGÓRICAS, y COMPUESTAS. Las proposiciones SIMPLES o categóricas se dividen según su
CUALIDAD en AFIRMATIVA
NEGATIVA
CANTIDAD en UNIVERSALES (Todos los hombres son gentiles)
PARTICULARES (Algunos hombres son gentiles)
SINGULARES (Juan es gentil)
Combinando estas posibilidades se tiene para las proposiciones
UNIVERSAL AFIRMATIVA (A) (Todos los hombres son gentiles)
UNIVERSAL NEGATIVA (E) (Ningún hombre es gentil)
PARTICULAR AFIRMATIVA ( I ) ( Algunos hombres son gentiles)
PARTICULAR NEGATIVA ( O ) (Algunos hombres no son gentiles)
Las relaciones de oposición entre estas proposiciones se presenta habitualmente en forma de cuadro. Las que nos interesan particularmente son :
Las proposiciones CONTRARIAS pueden ser simultáneamente falsas pero no verdaderas
(Ej : Todos los hombres son gentiles ---- Ningún hombre es gentil)
Las proposiciones CONTRADICTORIAS no pueden ser simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas.
(Ej : Todos los hombres son gentiles ---- Algunos hombres no son gentiles)
1.3. El empirismo lógico o positivismo lógico; concepto de verificación.
En un sentido muy amplio puede llamarse "positivismo" a toda doctrina que se atiene o destaca la importancia de lo positivo, esto es, de lo que es cierto, efectivo, verdadero, etc.
El positivismo lógico, empirismo lógico o neopositivismo, es el intento de reunir el empirismo con los recursos de la lógica formal simbólica; la tendencia antimetafísica es una de sus características fundamentales, pero no por considerar las proposiciones metafísicas como falsas, sino por estimarlas carentes de significación y aun contrarias a las reglas de la sintaxis lógica, y al desarrollo de la tesis de la verificación.
Este positivismo exhibe los rasgos siguientes:
- Sumisión al principio de que la significación de cualquier enunciado está contenida enteramente en su verificación por medio de lo dado , con lo cual se hace necesaria una depuración lógica que requiere precisamente el instrumental lógico matemático.
- No negación de la existencia de un mundo exterior, y atención exclusiva a la significación empírica de la afirmación de la existencia.
- El objeto de la física no son las sensaciones, son las leyes; y los enunciados sobre los cuerpos pueden ser traducidos por proposiciones sobre regularidades observadas en la intervención de las sensaciones.
- No oposición al realismo sino conformidad con el realismo empírico.
- Oposición terminante a la metafísica.
Si nos detenemos en este punto es por el hecho de que Lacan toma en reiteradas oportunidades una postura crítica en relación a esta escuela, por lo cual es de crucial importancia conocer dicha referencia.
Ya en sus primeras formulaciones el positivismo lógico separa completamente la forma lógica del contenido material de los enunciados, y rechaza la correspondencia ontológica entre proposición verdadera y realidad.
El término "empirismo" alude al hecho de considerar que el criterio de significación de las proposiciones es su verificabilidad empírica pero la noción misma de verificación no queda por fuera del debate.
Podemos plantear en principio que verificar una cosa es comprobar si es verdadera. Lo que se comprueba, sin embargo, no es una cosa sino un enunciado.
Para los positivistas lógicos "El significado cognoscitivo de una sentencia está determinado por las experiencias que permiten decidir de un modo conclusivo si la sentencia es verdadera o falsa". Si no se pueden llevar a cabo estas experiencias las sentencias carecen de significado; esto implica que carecen de significado los enunciados metafísicos, teológicos, axiológicos.
Frente a este planteo surgen varios cuestionamientos:
En primer lugar , ¿se basa la verificación en última instancia en impresiones sensibles? ¿Cómo pueden verificarse acontecimientos pasados? ¿ Es la verificación idéntica a la significación?
Nos topamos aquí con una primera paradoja: El principio de verificación es una proposición según la cual sólo pueden tener significado los enunciados empíricos. Ahora bien, el enunciado mediante el cual se formula este principio no es un enunciado empírico, con lo cual dentro de este marco podría afirmarse que es un enunciado que carece de significado.
1.4. Algunos ejemplos ilustrativos de las paradojas lógicas.
Teniendo en cuenta el papel indispensable que la lógica desempeña no sólo en matemáticas sino en todo el pensamiento deductivo, sorprende descubrir que la lógica se encuentra acribillada de razonamientos que conducen a contradicciones obvias. Será posible que los procesos mismos del pensamiento deductivo oculten fallos irremediables? .
Para lo que sigue de este apartado tomaremos como referencia el texto de Martin Gardner - Paradojas – Ed. Labor – 1995.
Comencemos por una paradoja sencilla: "Esta frase es falsa". ¿ Es la frase verdadera? En tal caso sería falsa. ¿Es entonces falsa? Si tal fuera el caso sería verdadera.
Cercano a esto están las declaraciones autoinvalidantes del estilo "Todo conocimiento es dudoso", o el aforismo de Bertrand Shaw "La única regla aúrea es que no hay reglas áureas".
¿Será la autoalusión culpable de estos males?. No. Los griegos sabían que no basta con eliminar la autoalusión. Un diálogo lo demuestra:
Platón: La próxima declaración de Sócrates será falsa.
Sócrates: Platón ha dicho la verdad.
La reducción lógica de este diálogo es:
A: La frase B es falsa.
B: La frase A es verdadera.
Cualquiera que sea el valor de verdad que se asigne a cualquiera de ellas quedará contradicho por la otra. Ninguna de estas proposiciones se refiere a sí misma, pero tomándolas conjuntamente la paradoja subsiste. Como resultado nos encontramos incapacitados para decir si alguna de ellas es verdadera o falsa.
Como último ejemplo tomemos el siguiente entretenimiento:
En una cara de una ficha en blanco escribimos:
LA FRASE ESCRITA EN LA OTRA CARA DE ESTA TARJETA ES VERDADERA
Y en el reverso de la misma ficha escribimos:
LA FRASE ESCRITA EN LA OTRA CARA DE ESTA TARJETA ES FALSA
Quien comienza a darle vueltas a la ficha cae en la cuenta de que ha sido atrapado en una regresión sin fin, donde cada proposición va siendo alternativamente verdadera y falsa.
Las paradojas acerca del valor de verdad se llaman paradojas semánticas.
2. ALEXANDRE KOYRE; "CONJUNTO Y CATEGORIA"
2.1. Presentación de las paradojas.
La paradoja de Epiménides que analizaremos en el siguiente apartado, ha sido muy popular en la Grecia Clásica. De ella hablan Aristóteles, los Estoicos y Cicerón. También parece haber sido muy popular entre los lógicos medievales. Sin embargo los tiempos modernos no le fueron propicios. En el Siglo XX conoce un resurgimiento triunfante con B. Russell cuando formula su paradoja en referencia al conjunto de todos los conjuntos, cuya estructura era la misma que las de aquellas.
Por otro lado las paradojas relacionadas con la Teoría de Conjuntos, jugaron un rol muy importante en la evolución del pensamiento matemático del S. XX. Es de hecho a resolverlas evitarlas que se dirigió el esfuerzo de la gran multiplicidad de sistemas lógicos nacidos entonces. Con ellas los fundamentos más seguros de la ciencia y aún de la razón estaban amenazados. Una maniobra posible frente a esta situación fue afirmar que las paradojas no eran de naturaleza propiamente matemática. Esta ciencia restringió pues las operaciones para evitar las antinomias, dejándolas fuera de su alcance en un terreno que no le interesa abordar. Poincaré afirmará sin embargo que "la lógica ya no es estéril, engendra la paradoja".
Koyré en su recorrido se propondrá analizar estas paradojas sin reducirlas a un lenguaje formal. Según este autor es la formalización a ultranza la que impidió a Russell dar una solución al problema y lo condujo a la teoría de los tipos. Koyré dirá que la estructura de la paradoja es muy simple y siempre la misma : la de la "causa sui"o "el suicidio".
2.1.1. Paradoja de Epiménides.
Tomaremos esta paradoja con el siguiente enunciado :
" Epiménides el cretense dice : todos los cretenses son mentirosos"
Para efectuar su análisis tendremos en cuenta :
- el sentido del juicio enunciado por Epiménides
- el hecho de que sea Epiménides quien lo pronuncia
a) En primer lugar puede afirmarse que Epiménides no quiere dar una apreciación moral del carácter de los cretenses. Si así fuera tomaríamos el silogismo
- Todos los cretenses son mentirosos
- Epimenides es cretense
- Epiménides es un mentiroso
Y el análisis se detendría allí sin mayor problema, del mismo modo que si dijera en lugar de mentiroso valientes o cobardes.
Para que haya paradoja, es decir para que el razonamiento de Epiménides pueda continuar o no pueda detenerse, debe querer decir otra cosa : todos los cretenses mienten en todo momento y todos los juicios pronunciados por los cretenses son falsos. Esto es tomando el término mentir en un sentido estrictamente lógico.
Según Koyré "debe asegurarse el sentido implícito de las aserciones, ya que el pensamiento es móvil y se desliza sin que nos demos cuenta de una significación a otra". Nótese además que el juicio anterior es intachable excepto en el caso de que sea un cretense , Epiménides quien la formula. Si hubiera dicho ateniense, no existiría el planteo paradojal.
Aún así ni el Dios todopoderoso de Descartes podría haber creado un ser que se equivoque siempre. En este caso la imposibilidad sería material y no formal.
b) Consideremos ahora el hecho de que Epiménides es quien pronuncia el juicio.
Si uno dice que todo lo que dice Epiménides es necesariamente falso, la aserción "todos los cretenses..." debe ser falsa, de lo que se sigue que no-todos los cretenses mienten siempre, o sea que existen juicios pronunciados por los cretenses que son o pueden ser verdaderos. Esto no significa por otro lado que siempre digan la verdad. Por lo tanto esa afirmación de Epiménides puede ser verdadera o falsa.
Por el contrario, siendo esta afirmación seguramente falsa, Epiménides es tal como los otros cretenses, un mentiroso seguramente, y ésta es la única conclusión que puede extraerse.
Es más, la proposición " Epiménides el cretense dice....."es seguramente falsa :
- porque seguro que es falso que los cretenses mientan siempre
- porque si así fuera Epiménides no la hubiera dicho, no podría haberla dicho pues de otro modo no sería cretense
La proposición es falsa porque contiene miembros incompatibles , que no pueden ser verdaderos a la vez, es un contrasentido, un juicio contradictorio y no una paradoja.
El juicio "todos los cretenses son mentirosos" le está prohibido a Epiménides, no puede pronunciarlo, en su boca se pervierte y deviene un contrasentido.
El caso no es único. Por ejemplo "El navío en el cual navegaba naufragó y murieron todos los pasajeros".
Debe concluirse pues que hay afirmaciones que no pueden ser hecha de modo válido, como así también ciertos verbos que no pueden conjugarse en primera persona : yo me desmayo, yo estoy ausente, yo miento, etc.
2.1.2. "Yo miento"
La paradoja del mentiroso puede ser planteada bajo la forma simplificada y condensada del "Yo miento": si yo digo que yo miento, ¿ digo la verdad o una mentira?.
Respecto a la paradoja de Epiménides dijimos que Koyré la cataloga como un juicio contradictorio, un contre-sens.
Respecto a la frase "Yo miento", Koyré planteará que no se trata de un juicio ni de un contrasentido, sino de un sin-sentido. ¿ Por qué no se trata de un juicio?
Recordemos que un juicio es la afirmación o negación de algo; un predicado con respecto a un sujeto(esta es también la definición de proposición). Los juicios, como ya dijimos, se componen de conceptos y estos están dispuestos de manera tal que no constituyen una mera sucesión. Por eso, conceptos tales como "los hombres buenos" no son juicios, en cambio "Los hombres buenos son recompensados" es un juicio.
En el juicio debe haber:
- afirmación o negación.
- El juicio debe ser verdadero o falso
Por lo tanto una imprecación, un ruego, una interrogación, etc. no son juicios. Cabe aclarar que el sujeto o concepto-sujeto del juicio se distingue del término que desempeña la función de sujeto en la oración así como del objeto a que se refiere. Lo mismo ocurre con el predicado o concepto-predicado.
El tercer elemento del juicio es la cópula que enlaza sujeto con predicado y afirma o niega el predicado del sujeto. Al respecto el planteo de Koyré es el siguiente:
sin duda cuando escuchamos a alguien decir "yo miento", creemos estar frente a una aserción como las otras; esto es de todos modos un error del que la fuente última es el hecho de que generalmente hablando , "el lenguaje no expresa nuestro pensamiento más que de una manera imperfecta y sobre todo incompleta."
Las palabras que pronunciamos y escuchamos, continúa Koyré, no toman sentido pleno mas que en el contexto. Tenemos el hábito de reconstituir y de recompletar el sentido de lo que escuchamos: ponemos sentido en todas partes; por eso nada es más difícil que aprehender un sin-sentido.
Cuando escuchamos a alguien decir "Yo miento" interpretamos:
- "he mentido"
- "yo miento a veces"
- "yo miento habitualmente"
Todos ellos son juicios correctos. Pero el "Yo miento" pretende no extenderse ni al pasado ni al futuro, sino confinarse al presente implicando "la aserción que hago en este momento es falsa".
Bertrand Russell ya había señalado que esto es insostenible por el simple hecho de que la aserción que se declara falsa no existe. La afirmación de falsedad no recae sobre nada y por lo tanto la frase no tiene sujeto lógico; el "yo" no es mas que el sujeto gramatical. En el lugar del concepto-sujeto se encuentra entonces un vacío. Algo se afirma de "nada".
La inexistencia del sujeto no entraña sin embargo inmediatamente el sin-sentido. Si yo dijera "El rey de Francia vive en Versailles" mi aserción sería falsa puesto que no hay rey de Francia, pero tendría un sentido.
Un sin-sentido es una significación imposible de realizar o efectuar mas que si se pretende aplicarla a ella misma, rellenar por ella misma el vacío de su sujeto. La paradoja no surge mas que cuando se pretende poder hacer de la proposición su propio sujeto.
La afirmación "Yo duermo" tiene un predicado y un sujeto. Es su ligazón la que se revela imposible. Es un juicio falso. Pero "Yo miento" no es un juicio; no es ni verdadero ni falso.
Así, plantea Koyré, tal como bien lo vio Russell que todo juicio debe tener su propio sujeto. Ningún juicio puede ser su propio sujeto. La expresión "La frase que estoy pronunciando es falsa" no da mas que una ilusión de sentido. Nosotros comenzamos por comprender, por completar una unidad de significación; la impresión primera persiste y nos engaña.
2.1.3. La paradoja de Richard.
Enunciaremos a continuación los puntos principales de la paradoja de Richard
- - supone un lenguaje en el que se pueden enunciar las propiedades de los números cardinales
- - se ordenan las definiciones en una serie : una definición precederá a otra si el número de letras de la primera es menor que el número de letras de la segunda y a igual número de letras se elige por orden alfabético . Entonces a cada definición le corresponde un número entero
- - puede ocurrir que algún número entero tenga la propiedad que le está asociada, por ej que ‘es divisible por 2’ esté asignada al 6 ,o puede ocurrir que no la tenga como ‘es el producto de un número entero por sí mismo’ esté asignada al número 15. Diremos pues que 6 es no richardiano y 15 es richardiano
- - x es richardiano significa pues : "x NO tiene la propiedad designada por la expresión definidora con que se halla relacionado en la serie ordenada de definiciones"
- - ‘ser richardiano’ es una propiedad de los números enteros , entonces pertenece a la serie. Supongamos que está relacionada con el número n . Nos preguntamos pues ¿es n richardiano?
- - En este punto enunciamos que dicha pregunta conlleva una respuesta pardójica :
si es richardiano carece de la propiedad que designa , luego no es richardiano, y si no es richardiano entonces posee la propiedad que designa, luego es richardiano
2.1.4. La paradoja de Russell
Como podremos ver, la paradoja de Russell con las conclusiones e intentos de solución que para éste conllevan, como así también las conclusiones de Koyré giran en torno a un problema crucial : la noción de TOTALIZACION, es decir la constitución de un todo.
Comencemos entonces con la paradoja conocida como la paradoja de Russell.
Llamemos CONJUNTO NORMAL a un conjunto que no se contiene a sí mismo como elemento ; por ejemplo el conjunto de todas las sillas el cual no es en sí mismo una silla, a diferencia del conjunto de nociones abstractas que es en sí mismo una noción abstracta y por lo tanto se contiene a sí mismo.
Sea E el conjunto que contiene por elementos a todos los conjuntos normales y sólo a ellos ; es decir sea E el conjuntos de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos.
La pregunta crucial es: ¿E es o no un conjunto normal? ,es decir¿ E está o no contenido en sí mismo?
Si es un conjunto normal, en virtud de su definición, por ser el conjunto de todos los conjuntos normales, debería contenerse a sí mismo como elemento, lo cual está en contradicción con la hipótesis de suponer que E es un conjunto normal, puesto que los conjuntos normales no se contienen a sí mismos.
Por lo tanto habría que concluir que E no es un conjunto normal y que por lo tanto se contiene a sí mismo como elemento. Pero esto no es posible dado que E es el conjunto de todos los conjuntos normales y sólo ellos.
El problema central que nos plantea esta paradoja es:
1-¿Un conjunto puede contenerse a sí mismo como elemento?
2-¿Una totalidad puede ser miembro de ella misma?
El problema radica pues en la constitución de tales totalidades.
La solución de Russell es plantear como principio la ilegitimidad de los conjuntos no normales ( por ejemplo el catálogo de todos los catálogos). Para prevenir su reaparición fundemos sobre este principio una lógica que clasifique los objetos y las proposiciones según el TIPO al que pertenezcan. Así:
a- Los individuos y las proposiciones concernientes a los individuos, siendo los objetos lógicos de la estructura más simple serán del tipo 0.
b- Las propiedades de los individuos, las clases de los individuos, siendo objetos lógicos que presuponen a los individuos serán del tipo 1.
c- Las proposiciones que versan sobre las proposiciones, las clases de clases, serán del tipo 2, y así sucesivamente.
Por lo tanto toda proposición será de un tipo superior a sus elementos.
La teoría de los tipos declara no legítimo todo juicio que infrinja la regla jerárquica de constitución. De esto se sigue que los juicios paradojales están prohibidos. Dirá Russell que nada que implique ’Todo’ de una colección debe ser miembro de esta colección. Si una colección de objetos debe contener miembros definibles sólo en términos de la colección misma tomada como totalidad, entonces esta colección no es una totalidad . Si la suposición de que una colección forma un todo implica que ésta posee miembros que sólo son definibles en términos de ese todo, entonces esta colección no forma un todo.
Se trata entonces de totalidades ilegítimas o como prefiere llamarlas Koyré "multiplicidades no totalizables".
Koyré plantea el problema siguiente : la proposición fundamental de la Teoría de los Tipos, y esto se aplica a todas las proposiciones de esta teoría, según la cual "toda proposición debe ser de un tipo superior a su objeto", no solamente no podría ella misma pertenecer a ningún tipo, sino que realiza plenamente la paradoja que tiene por fin evitar. Es decir ,no puede ser verdadera más que si es falsa, y no puede ser falsa mas que si es verdadera. Puesto que : o bien ella es verdadera y entonces se aplica a ella misma , en cuyo caso es falsa y está desprovista de sentido; o bien , no se aplica a sí misma, es falsa y entonces podría ser verdadera.
Dicho de otro modo, la teoría de los tipos prohibe el enunciado de proposiciones que versan sobre todas las proposiciones y por ello mismo contiene tales proposiciones prohibidas.
También podríamos preguntarnos si la teoría de los tipos es verdadera o falsa : ¿ cuál sería el tipo de juicio que afirmaría esta verdad o falsedad? La teoría de los tipos realiza a la perfección el mismo de círculo vicioso prohibido . Puede concluirse así que la teoría de los tipos, en estos términos, no tiene sentido.
La teoría de los tipos en el marco de la teoría de los conjuntos tiene su homólogo en la noción de metalenguaje ideada y desarrollada por el matemático polaco Alfred Tarski. En el peldaño más bajo se encuentran los enunciados relativos a objetos tales como "Marte tiene dos lunas". En este lenguaje no pueden aparecer calificativos como verdadero o falso. Para hablar de la veracidad o falsedad de frases formuladas en este lenguaje tenemos que emplear un metalenguaje, situado en el peldaño inmediatamente superior de la escala . El metalenguaje engloba la totalidad del lenguaje objeto, pero permite referirse a los valores de verdad de los enunciados del lenguaje objeto. Por citar uno de los ejemplos favoritos de Tarski, "La nieve es blanca" es un enunciado del lenguaje objeto. En cambio , "El enunciado ‘La nieve es blanca ‘es verdadero" s una proposición de un metalenguaje. Se puede hablar de valores de verdad de enunciados de un metalenguaje pero es preciso utilizar un metalenguaje de nivel superior. Cada peldaño de la escala es un lenguaje objeto del peldaño situado inmediatamente sobre él.
Del mismo modo que la teoría de los tipos intenta resolver las paradojas de la teoría de los conjuntos, la teoría del metalenguaje intenta hacerlo con las paradojas semánticas generadas a partir del uso de los llamados lenguajes naturales en oposición a los lenguajes artificiales.
2.2 Conclusiones de Koyré
Podemos sintetizar las conclusiones a que llega Koyré diciendo que :
1.-Todo concepto o toda noción que pretenda abarcar TODO no significa NADA
2.-La clase Universal de la lógica no existe.
Es imposible formar el conjunto de todos los conjuntos. No hay ningún lugar para él. No se lo puede poner en el interior de él mismo y por otra parte, puesto que abarca (o pretende abarcar) todo el universo de los conjuntos, no puede dejárselo afuera. El conjunto de todos los objetos , de todos los "algo", la clase universal de la lógica, no existe, no es un objeto del pensamiento. La multiplicidad de los "algo" no es totalizable porque la noción de objeto no puede servir de lazo unificante , en efecto, ella no se opone a nada y no excluye nada de su dominio de aplicación , ella está a tal punto indeterminada que la multiplicidad a la cual ella se aplica es en el sentido más fuerte del término indefinida e ilimitada. La imposibilidad de totalizar la multiplicidad de "seres"(objetos del pensamiento) se explica por el vacío absoluto de esta noción ( Hegel ya había reconocido la equivalencia en el vacío del pensamiento del ser puro y de la Nada) . Cabe aclarar que Koyré utiliza como referencia la noción de conjunto de Cantor : reunión en un todo de objetos determinados y distintos, de nuestra intuición o de nuestro pensamiento.
3. Conclusiones preliminares
Tal como lo hubimos planteado en la introducción el objetivo de los lógicos desde que surgen estas "contradicciones" , es eliminarlas creando las restricciones necesarias para que no se produzcan , salvaguardando así la coherencia del sistema. En este sentido y retomando las palabras de Miller, "la paradoja es el primer resultado del esfuerzo moderno de la lógica matemática por darle al campo del significante una coherencia total" . Como hemos visto tanto la conclusión de Koyré como la conclusión de Russell redundan en plantear la imposibilidad de la totalización como fuente de todas las paradojas. Y sus soluciones se dirigen a estipular restricciones convenientes sobre estas totalizaciones a fin de impedir la producción de tales afirmaciones paradójicas.
Para la lógica pues las paradojas son la consecuencia del intento de totalizar allí donde es imposible. Para el psicoanálisis el surgimiento de la paradoja es inevitable en la medida en que es inherente a la estructura del lenguaje. Esto se revela así en las diversas soluciones propuestas desde la lógica que , como hemos visto, caen en la misma falencia que intentan evitar. Cuando hablamos de la oposición estructural entre significante y todo no hacemos más que referirnos a la fórmula misma de definición de cadena significante en tanto un significante es lo que representa a un sujeto para otro significante. Esta definición implica siempre un significante en más que impide la totalización, es decir el hecho de que no hay un lugar total de los significantes, en esto consiste la esencia de la lógica del significante tal como lo entendemos desde el psicoanálisis que conlleva en el ámbito de la lógica dos grandes "desgarraduras", una es la paradoja de Russell que ya hemos presentado, y la otra el descubrimiento de Gödel con su teorema . Es en torno a las nociones de incompletud e inconsistencia que se extraen de dicho teorema que trabajaremos la segunda parte del presente artículo, no sin antes recorrer otras paradojas tales como las aporías de Zenón y el teorema de Cantor. La última parte de nuestro trabajo consistirá en extraer del marco de este planteo la noción fundamental de no-todo en torno a la cual se desarrolla la clínica psicoanalítica. Con este último objetivo haremos referencia a textos centrales en la obra de Lacan donde atraviesa estos atolladeros en su elaboración de la lógica significante.
Citamos en este punto nuevamente a Lacan en la clase del 21 de febrero de 1962 (sem. 9) : "... es por eso que este año hacemos lógica. No puedo evitarlo : no se trata de saber si eso me gusta o me disgusta. Eso no me disgusta, puede no gustarle a otros. Pero lo cierto es que es inevitable. Se trata de saber a qué lógica esto nos lleva forzosamente."
NOTAS:
(1) A. Koyré – Epiménide le menteur- Les Documents de la Biblitheque de l’ Ecole de la Cause freudienne Nro 3 - 1993
(2) E.Nagel - J. Newman – El Teorema de Gödel – Ed. Tecnos - 1994
(3) J. Lacan – Seminario 9 – (Inédito) - 1962
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